Sous-espace vectoriel - Sous-famille
L'ensemble des combinaisons linéaires de la famille \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) sera noté \(\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)\)
Autrement dit, $${{\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)}}={{\left\{\sum^n_{i=1}\lambda_i u_i:\lambda_i\in\Bbb R,1\leqslant i\leqslant n\right\} }}$$
Proposition :
Soit \(\{u_1,\ldots,u_n\}\) une famille finie de vecteurs de \(E\). Alors
1. \(\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)\) forme un sous-espace vectoriel de \(E\)
2. Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(u_1,u_2,\ldots,u_n\), alors \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)\subset F\)
\(\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)\) est le plus petit sous-espace contenant \(u_1,\ldots,u_n\)
Remarque :
Si \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) sont deux familles (finies) de vecteurs de \(E\), alors $${{\mathcal A\subset\mathcal B}}\implies{{\operatorname{Vect}(\mathcal A)\subset\operatorname{Vect}(\mathcal B)}}$$
Proposition :
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\Bbb R\), \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) une famille finie de vecteurs de \(E\) et \(F=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)\)
Les opérations suivantes sur les vecteurs \(u_i\) ne changent pas \(F\) :
1. Ajouter à l'un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs : $$\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\operatorname{Vect}\left(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_i+\underset{j\neq i}{\sum_{j=1}^n}\lambda_ju_j,u_{i+1},\ldots,u_n\right)$$
2. Enlever un vecteur qui est une combinaison linéaire des autres : $$u_i=\underset{j\neq i}{\sum^n_{j=1} }\implies\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_{i+1},\ldots,u_n)$$
3. Changer l'ordre des vecteurs
4. Multiplier l'un des vecteurs par un réel non nul : $$\alpha\neq0\implies\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\operatorname{Vect}(\alpha u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)},\ldots,u_{\sigma(n)})$$ (où \(\sigma\) est une bijection de \(\{1,2,\ldots,n\}\) sur lui-même)
Famille génératrice
